Los triángulos: omnis mundi creatura quasi liber et pictura nobis est, et speculum.

Omnis mundi creatura quasi liber et pictura nobis est, et speculum.

"-Sigo sin entender- confesó Joss-. Sabemos que el universo se rige por un orden matemático, la ley de la gravedad y todo éso. ¿Qué diferencia tiene ésto? ¿De qué nos serviría saber que existe un orden en las cifras de pi?

-¿No se da cuenta? Ésto sería distinto. No se trata sólo de comenzar el universo con algunas leyes matemáticas precisas que determinan la física y la química. Ésto es un mensaje. Quien quiera que haya creado el universo, ocultó mensajes en números irracionales para que se descifren quince mil millones de años después, cuando por fin haya evolucionado la vida inteligente. La otra vez que nos reunimos critiqué a Rankin y usted por no comprenderlo. ¿Recuerda que les pregunté que, si Dios quisiera hacernos conocer su existencia, por qué entonces no nos enviaba un mensaje concreto?

-Me acuerdo muy bien. Usted piensa que Dios es un matemático."

(Carl Sagan. Contacto).

-Tenía que ocurrir- dijo Ptagonal. Sacó un compás de entre los pliegues de su toga y midió el pastel con expresión pensativa-. Es una constante, ¿no te parece? Sí, estoy seguro de que es una constante. Qué concepto más deprimente...

-Perdona, pero temo que no te entiendo- dijo Teppic.

-El diámetro divide a la circunferencia, ¿sabes? Tendría que ser tres veces. Es lo que pensaría cualquiera, ¿no te parece? Pero ¿es así? No. Tres coma uno cuatro uno y montones de números más... No sé de dónde salen, pero los muy malditos no se acaban nunca. ¿sabes lo mucho que me cabrea el que no se acaben nunca?

-Supongo que te debe cabrear considerablemente- dijo Teppic en su tono más cortés.

-Exacto. Me indica que el Creador usó la clase de círculos que no debía. ¡Ni tan siquiera es un número presentable! Quiero decir que... Bueno a tres coma cinco le puedes tener respeto. O a tres coma tres, por ejemplo... Sí, éso sí tendría buen aspecto.

(Terry Pratchett, Pirómides)

Introducción

Quiero aprovechar para introducir uno de esos libros que siempre viaja conmigo, en mi cabeza y en mi maleta. Se trata de El universo de las matemáticas. Un recorrido alfabético por los grandes teoremas, enigmas y controversias, de William Dunham de editorial Pirámide, (1995). El formato elegido por el autor es el de un diccionario con una entrada por cada una de las letras del alfabeto, en plan RAE, modelo expositivo que, lejos de fragmentar el discurso, lo acota en capítulos muy accesibles cuyas relaciones internas establece fácilmente el lector, casi sin enterarse, durante el proceso de lectura.

Pues bien, uno de ésos capítulos, el de la "E", está dedicado a Euler, en palabras de Dunham un matemático de primerísimo orden, aunque casi totalmente desconocido por el gran público que, posiblemente, en su gran mayoría no sabe ni pronunciar correctamente su nombre. Los mismos que nunca han oído hablar de Euler probablemente no tendrían problema en saber que Pierre-Auguste Renoir es un artista o que Johannes Brahms es un compositor o que Sir Walter Scott es un novelista. La anonimicidad de Euler, por contraste, es una injusticia y una vergüenza. (...) Por tanto, encarezco a los lectores que blandiendo el libro comiencen a formar clubes de entusiastas seguidores, escriban pancartas y de otras muchas formas corran la voz acerca de uno de los matemáticos más influyentes y más ingeniosos que han existido. Y en éso estamos...

Leonhard Euler

¿A dónde quiero ir a parar? Al estudio geométrico del más simple de los polígonos, el triángulo, (estudiado hasta la saciedad desde la antigüedad por mentes tan extraordinarias como la del mismísimo Euclides), al que Euler realizó contribuciones de tal perspicacia, sencillez y alcance que casi me inclinan, (irredento ateo y todo, como soy), a considerar seriamente la posibilidad de un dios, o, al menos, de un Intelecto Agente.

Me voy a permitir el lujo de cogerme de la mano de Dunham para mostraros esta pequeña joya de la geometría:

comencemos con un triángulo arbitrario ABC como el que se muestra en la figura E.1. córtese por la mitad cada lado y trácense las tres alturas del triángulo -ésto es, las perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto-. En la figura hemos puesto una M en el punto medio de cada lado y una P al lado de cada perpendicular. ¿Qué es digno de notarse acerca de estos seis puntos aparentemente sin relación entre sí? 

¡Euler demostró el hecho curioso de que los seis puntos caían en un sólo círculo! El centro del círculo se halla como se indica en la figura E.2.. Sea D el punto común donde se cortan las tres alturas del triángulo (técnicamente llamado el ortocentro del triángulo) y E el punto común donde se cortan las perpendiculares trazadas desde los puntos medios de cada lado (el circuncentro). Únanse el punto D y E y córtese este segmento por la mitad en O. Entonces O es el detro de un círculo que pasa por todos los seis puntos mencionados.

Este teorema sumamente peculiar que pasan por alto Euclides, Arquímedes, Tolomeo y todos los demás matemáticos durante miles de años, indica, concluye Dunham, que Euler pudo hacer geometría como el mejor de ellos.

Lo más curioso, además, es que es un hecho constatable "a la euclidiana", mediante regla y compás, (una forma de razonar en la que, lamentablemente, no somos educados). Hoy es un resultado bien conocido. Las tres alturas del triángulo se cortan en el ortocentro, las mediatrices de cada uno de sus lados, (la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio), se cortan en el circuncentro y las medianas, (los segmentos que unen cada uno de los vértices con el punto medio de su lado opuesto), lo hacen en el baricentro. Los tres puntos están contenidos en la llamada Recta de Euler. Podemos "comprobarlo" fácilmente gracias a Geogebra:

(Nótese que no he representado el baricentro)

En los próximos días, abordaré este problema desde una perspectiva algebraica. Y así, de paso, hablamos de la gran contribución de Descartes a las matemáticas.