Tercios españoles: del arte de la guerra a la ciencia de la guerra. El problema del calibre

Presentación:

Éste es el primero de una serie de artículos en que iré dando cuenta de cómo la Ciencia se fue introduciendo por las rendijas del viejo "Arte de la Guerra", (de la mano de la revolución renacentista de la poliorcética y de la artillería, sobre todo), para dar lugar a la ingeniería militar.

No voy a hacer una historia de la ingeniería militar, sino que voy a presentar los conocimientos y métodos de que ésta se fue dotando a partir de las fuentes originales a que tenemos acceso gracias a la Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico, dependiente del Ministerio de Cultura, y a algunas otras procedentes de otras bibliotecas y archivos.

Procuraré formular cada problema tal y como se presentó a nuestros antecesores, de acuerdo con el conocimiento de su época, (y la forma en que lo aplicaron), para comprender las soluciones a las que llegaron. Cuando sea pertinente, recurriré a nuestras matemáticas para valorar o aclarar las viejas soluciones.

En general veremos cómo se trata de problemas de aplicación en arquitectura, topografía o balística, que se abordan geométricamente, en vez de, como estamos acostumbrados, algebraicamente. Aún faltaban algunas décadas para que Descartes abriera nuevos caminos.

Hace años que me interesan las obras antiguas sobre matemáticas, y de ellas he sacado, sobre todo, un íntimo convencimiento de que a ellas se accede por la puerta de la geometría. Que cada uno debe rehacer en su mente el camino que jalonan los problemas que en cada momento preocuparon a los matemáticos. Que deberíamos emplear no pocas horas de nuestra infancia en trabajar "a la euclidea", con regla y compás, para aprender a pensar matemáticamente.

Artillería. El problema del calibre.

<<Llamadme Fernando. Soy un artillero español del siglo XVI, y tengo un problema. La estandarización de las piezas a las que sirvo es muy deficiente. De hecho, no existe, en buen español, la palabra "estandarización", que me suena a lindeza francesa o barrabasada flamenca.

A decir del bueno de D. Lázaro de la Isla en su Breve tratado del arte de la artillería, geometría y artificios de fuego,  que dirigió al Capitán General de Artillería, D. Juan de Acuña  el año de 1595, son tantos los conocimientos que debo dominar, (y tantas y tan importantes las cosas que de ello dependen), que me sorprendo al caer en la cuenta de la infinidad de sentencias del libro que sabidas tengo desde mozo sin saber ni como las aprendí.

No soy un hombre de letras, (que bien estorbado que fui en la escuela), pero como dice D. Lázaro en el Capítulo I, no me es ajeno el uso de la regla, la escuadra, la brújula, y del nivel, que usaron los antiguos sabios, como no lo es el de la pala y la azada que de siempre he visto en manos de mis mayores.

Convengo en que no sé explicar con números y papeles por qué ni cómo funcionan esos instrumentos del oficio. Pero para suplir, si hace falta, esa regla, a que alude D. Lázaro, en que viene señalado el peso de las balas y las bocas de las piezas ya tengo yo años de experiencia en Flandes.

Con ésto y todo, hete aquí que en este Año del Señor de 1598, se nos presenta un oficialillo con otro libro, (éste del Capitán D. Cristobal de Rojas), que se titula Teórica y práctica de fortificación, conforme las medidas y defensas destos tiempos, y que menos me gusta que el de D. Lázaro, (que aún dice cosa útil entre tanta letra),  y que, con abundancia de boato, de papel y reglas, viene a enseñarme cómo sacar el diámetro de una bala para un determinado peso a partir de otra de diámetro y peso conocidos, sin que me vaya a valer ni un escudo de ventaja.

"Esta curiosa regla de Geometría dicen que la inventó Nicolao Tartalia, y es de tal estimación, que holgaran mucho saberla los Delios, cuando tuvieron necesidad de doblar el ara de Apolo, para lo cual se juntaron grandes Filósofos, y nunca supieron la razón de ella. Dice su fábrica así. Sea un diámetro de un cubo la línea AB, y que pese 15 libras: piden que se dé otro diámetro que se cuerpo, o cubo, sea doblado al de la AB que quiere decir, que pese 30 libras, y los mismo se entenderá, si fuesen onzas, porque la regla es muy general, y porque se pretende sacar un cuerpo doblado a la AB. Se pondrá la dicha línea AB en una línea recta dos veces de largo, y luego se hará un rectángulo que tenga de ancho la mesma línea AB como parece en esta planta.

Dize esta regla, que hecho el rectángulo, como dicho es, se extenderán las dos líneas ED y la EA muy largas acaso, y luego se tirarán las dos líneas diagonales del dicho rectángulo, que serán AD y CE y se cruzarán en el punto G y fabricado ésto se pondrá una regla que toque en la esquina del rectángulo del punto C y se ajustará de tal suerte la dicha regla que estén distantes por partes iguales el punto H y el punto F del centro G y luego se tirará la línea HF que pase justamente por el punto C y digo que la línea DF es el diámetro duplo a la AB en potencia como se prueba por la 12 definición del 5 de Euclides y por la 36 del undécimo y con esta orden podrá hacer el artillero el calibro, porque si quiere duplicar, o triplicar, o cuadruplicar una bala, pondrá el diámetro de la primera bala por anchura de un rectángulo, y por largura de él, tantos diámetros de largo, cuanto pretendiere que sea mayor la segunda bala que quiere hacer." Op. Cit. Cap. XXI.

Que ancho se quedó nuestro buen Capitán con este discurso, que si no fuera por el dibujo que acompaña ni siquiera sabríamos de qué habla, salvo de que la culpa de este desaguisado de rayas y compases es del tartaglia ése, italiano.

Con todo me he esforzado por comprender, porque no he yo de dejar de aprender algo que a mi oficio atañe, por más que vote a los demonios del alma de los que tal enredo nos sacan de sus cabezas a tantos españoles honrados que no aspiramos a otra cosa que a luchar por la Fe y por Nuestro Rey contra los herejes. Así que el Señor Oficial ha prometido volver ahora con una copia del Tartaglia, que así le llaman, para esclarecer tanta oscuridad como hay en este texto, que antes pareciera locura de alquimista que manual para la batalla.

Y helo aquí al Sr. Oficial, con un libro más gordo si cabe, que parece que pueda albergar entre sus páginas a todos los santos de la cristiandad, y encima en jerigonza italiana:

"Volendo adonque trovare per linea, poniamo la radice cuba di 10. Questo 10 (come di sopra e stato detto) s'intende, o che si debbe intendere 10 misure corporee, horponiamo she siano 10 corpetti simili al nostro corpetto .c. di sopra posto in margine, delliquali 10 corpetti la intencion nostra e di volerne fare un cubo solo et saper quanto quel sara per lato, ouer che diremo, eglie un cubo, che l'area sua corporale é 10 di detti corpetti .c. et voressimo sapere quanto sia il lato di tal cubo,cioe quanto sia di quelle misurette lineali (simile alla .a.) per lato la qual linetta .a. per esser stata suposta per un piede et per piede la chiameremo, per essequir adonque questo effetto tira una linea cioe la .de. & di quella ne cavarai la .df. che sia precisamente 10 piedi (cioe la dg & la hf) sia precisamente piedi.i. (tal che la detta superficie venira a esser 10 piedi superficiali) fatto questo tira in quella li duoi diametri .dh. & .gf. (per trovar il centro .i.) dapoi slonga il lato .dg. poníamo fino .ak. (ponto non determinato) fatto questo piglia il tuo compasso (facendo centro il ponto i) & con quello cercarai di signar in ponto sopra la linea .gk. & un'altro (senza variar il compasso dal centro .i.) sopra la linea .fe. liquali duoi ponti siano di tal qualita che tirando una linea retta da uno a l'altro di quelli  tal linea passi precisamente per il ponto .h. & per trouar questi duoi ponti cosi conditionati bisogna procedere a tasto ne in questo modo prima a nostro giudicio signaremo li duoi ponti .l. & .m. & dapoi signati che siano isperimentaremo se tirando da l'uno a l'altro la detta linea retta se quella transira precisamente per il detto ponto h & perche in vero tirando la detta linea dal detto ponto .l. al ponto .m. quella transiria alquanto disopra dal detto ponto .h. & pero ne signaremo duoi altri stringendo alquanto il nostro compasso, & questi secondi pongo che siano .no. ma tirando la detta linea dal ponto .n. al ponto .o. trouaremo che quella transira al quanto piu baso del detto ponto .h. & pero slargaremo alquanto il nostro compasso, & con quello signaremos glialtri duoi ponti .p. & .q. & perche a tirar la detta linea dal ponto .p. all ponto .q. quel passa pontalmente per il detto ponto .h. como sesibilmente si vede, concluderemo la linea .fq. esser la radice cuba di 10 vero è che bisogna esser diligentissimo nell'operare altramente malamente rispondería al senso essempi gratia cauando la propinqua radice cuba di 10 per la nostra regola trouaremos quella esser 2 1/9 & pero se la nostra operatione geometrica sara stata fatta con diligentia la detta .fq. doveria esser circa piedi 2 1/9 cioe circa due di quelle lineete .a. et un nono di una di quelle & cosi con compasso te ne potrai chiarire. "

Ya sudamos con tanta letra y tanta raya como si fuéramos galeotes, que menos mal que el Pater, (que sabe de latines más que nuestro señor el Papa), ha cogido un palo y nos lo está dibujando sobre el barro. Visto queda que no fuera de mayor dificultad la empresa, (si hubiere necesidad della, que jamás en mis años de campaña me pusieron las circunstancias ante tal necesidad), si no fuera porque se ha de encontrar los puntos que determinan la inclinación de la raya que pasa por C , y así la respuesta, procediendo "a tasto", como dice el tartaglia,  que s'hecha de menos forma de hacerlo exactamente con la regla y el compás.

No es difícil cosa, si se sabe explicar, que, por ejemplo, para conseguir una bala de doble peso que una de diámetro tres dedos, hay que dibujar esa distancia en el papel AB, y luego prolongarla en su longitud hasta un punto C. Que a partir de ahí trasladamos perpedicularmente el dicho diámetro de la bala desde A verticalmente hacia abajo hasta el punto D y, con estos tres, trazamos el rectángulo y sus diagonales que se cruzan en un punto O. Y que si, de esta guisa, prolongamos los lados AD y DE y conseguimos situar en ellos dos puntos tales que equidisten de O y que definan una recta que contenga a C, cosa esta que difícil es de atinar a la primera, a fé mía,  la distancia entre el punto E del rectángulo inicial y el punto que llama el Pater "dseta", (que nada se le oculta del alfabeto gregesco), será la que tengo que usar como diámetro de la bala que me solicitan, y que tendrá el peso doble que la anterior.

Que no se yo cómo a Micer Tartaglia le vino a la mente cosa semejante que ni a los sabios se les había ocurrido, y que, de todos modos, más parece cosa como de oficiales, d'esos que razonan como Don Cristobal, que quedan convencidos de las cosas "por la 12 definición del 5 de Euclides y por la 36 del undécimo", que no de honrados artilleros. >>

A modo de conclusión:


Más parece cosa que quitara el sueño a un maestro armero que a un artillero ésta que nos ocupa, pero en todo caso, nos proporciona una ocasión para comprobar lo mucho que debemos a los "humildes" avances de la aritmética. Nociones tan elementales como el volumen, (y el peso en este caso, con permiso de la densidad), quedan por entero fuera de la capacidad de cálculo de la mayor parte de las personas de la época, salvo unos pocos casos particulares en que el resultado de la raíz cúbica es entero.

Tartaglia fue famoso, entre otras cosas, por haber resuelto la ecuación de tercer grado, cuya solución anterior, por Scipione del Ferro, no había transcendido. Naturalmente el problema de la raíz cúbica no podía dejar de interesarle. La solución gráfica que propuso es antes una demostración geométrica de la radicación cúbica, que un verdadero método para resolver los problemas planteados, dado que no especifica la manera de encontrar exactamente los puntos que determinan la solución con la regla y el compás, sino que es la solución la que determina exactamente los citados puntos. Como regla práctica de oficio, parece más bien que la solución del problema planteado pasase simplemente por el uso de las reglas que cita Lázaro de la Isla.

Nosotros, dotados de métodos más poderosos, podemos hoy hacer este cálculo con la exactitud que precisemos sin más que recurrir a la calculadora:

Para el caso de una bala esférica buscamos aquel radio R que cumpla que  V/(2V) = r^3/R^3

O sea, R = (2r^3)^(1/3), y para el caso que nos ocupa,  r = 3 => R = 3,78.

El método gráfico ha arrojado un resultado de 3,76 que no está mal, y que se habría podido ajustar aún más... Pero claro... El Pater no tenía Geogebra.

Los triángulos: omnis mundi creatura quasi liber et pictura nobis est, et speculum.

Omnis mundi creatura quasi liber et pictura nobis est, et speculum.

"-Sigo sin entender- confesó Joss-. Sabemos que el universo se rige por un orden matemático, la ley de la gravedad y todo éso. ¿Qué diferencia tiene ésto? ¿De qué nos serviría saber que existe un orden en las cifras de pi?

-¿No se da cuenta? Ésto sería distinto. No se trata sólo de comenzar el universo con algunas leyes matemáticas precisas que determinan la física y la química. Ésto es un mensaje. Quien quiera que haya creado el universo, ocultó mensajes en números irracionales para que se descifren quince mil millones de años después, cuando por fin haya evolucionado la vida inteligente. La otra vez que nos reunimos critiqué a Rankin y usted por no comprenderlo. ¿Recuerda que les pregunté que, si Dios quisiera hacernos conocer su existencia, por qué entonces no nos enviaba un mensaje concreto?

-Me acuerdo muy bien. Usted piensa que Dios es un matemático."

(Carl Sagan. Contacto).

-Tenía que ocurrir- dijo Ptagonal. Sacó un compás de entre los pliegues de su toga y midió el pastel con expresión pensativa-. Es una constante, ¿no te parece? Sí, estoy seguro de que es una constante. Qué concepto más deprimente...

-Perdona, pero temo que no te entiendo- dijo Teppic.

-El diámetro divide a la circunferencia, ¿sabes? Tendría que ser tres veces. Es lo que pensaría cualquiera, ¿no te parece? Pero ¿es así? No. Tres coma uno cuatro uno y montones de números más... No sé de dónde salen, pero los muy malditos no se acaban nunca. ¿sabes lo mucho que me cabrea el que no se acaben nunca?

-Supongo que te debe cabrear considerablemente- dijo Teppic en su tono más cortés.

-Exacto. Me indica que el Creador usó la clase de círculos que no debía. ¡Ni tan siquiera es un número presentable! Quiero decir que... Bueno a tres coma cinco le puedes tener respeto. O a tres coma tres, por ejemplo... Sí, éso sí tendría buen aspecto.

(Terry Pratchett, Pirómides)

Introducción

Quiero aprovechar para introducir uno de esos libros que siempre viaja conmigo, en mi cabeza y en mi maleta. Se trata de El universo de las matemáticas. Un recorrido alfabético por los grandes teoremas, enigmas y controversias, de William Dunham de editorial Pirámide, (1995). El formato elegido por el autor es el de un diccionario con una entrada por cada una de las letras del alfabeto, en plan RAE, modelo expositivo que, lejos de fragmentar el discurso, lo acota en capítulos muy accesibles cuyas relaciones internas establece fácilmente el lector, casi sin enterarse, durante el proceso de lectura.

Pues bien, uno de ésos capítulos, el de la "E", está dedicado a Euler, en palabras de Dunham un matemático de primerísimo orden, aunque casi totalmente desconocido por el gran público que, posiblemente, en su gran mayoría no sabe ni pronunciar correctamente su nombre. Los mismos que nunca han oído hablar de Euler probablemente no tendrían problema en saber que Pierre-Auguste Renoir es un artista o que Johannes Brahms es un compositor o que Sir Walter Scott es un novelista. La anonimicidad de Euler, por contraste, es una injusticia y una vergüenza. (...) Por tanto, encarezco a los lectores que blandiendo el libro comiencen a formar clubes de entusiastas seguidores, escriban pancartas y de otras muchas formas corran la voz acerca de uno de los matemáticos más influyentes y más ingeniosos que han existido. Y en éso estamos...

Leonhard Euler

¿A dónde quiero ir a parar? Al estudio geométrico del más simple de los polígonos, el triángulo, (estudiado hasta la saciedad desde la antigüedad por mentes tan extraordinarias como la del mismísimo Euclides), al que Euler realizó contribuciones de tal perspicacia, sencillez y alcance que casi me inclinan, (irredento ateo y todo, como soy), a considerar seriamente la posibilidad de un dios, o, al menos, de un Intelecto Agente.

Me voy a permitir el lujo de cogerme de la mano de Dunham para mostraros esta pequeña joya de la geometría:

comencemos con un triángulo arbitrario ABC como el que se muestra en la figura E.1. córtese por la mitad cada lado y trácense las tres alturas del triángulo -ésto es, las perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto-. En la figura hemos puesto una M en el punto medio de cada lado y una P al lado de cada perpendicular. ¿Qué es digno de notarse acerca de estos seis puntos aparentemente sin relación entre sí? 

¡Euler demostró el hecho curioso de que los seis puntos caían en un sólo círculo! El centro del círculo se halla como se indica en la figura E.2.. Sea D el punto común donde se cortan las tres alturas del triángulo (técnicamente llamado el ortocentro del triángulo) y E el punto común donde se cortan las perpendiculares trazadas desde los puntos medios de cada lado (el circuncentro). Únanse el punto D y E y córtese este segmento por la mitad en O. Entonces O es el detro de un círculo que pasa por todos los seis puntos mencionados.

Este teorema sumamente peculiar que pasan por alto Euclides, Arquímedes, Tolomeo y todos los demás matemáticos durante miles de años, indica, concluye Dunham, que Euler pudo hacer geometría como el mejor de ellos.

Lo más curioso, además, es que es un hecho constatable "a la euclidiana", mediante regla y compás, (una forma de razonar en la que, lamentablemente, no somos educados). Hoy es un resultado bien conocido. Las tres alturas del triángulo se cortan en el ortocentro, las mediatrices de cada uno de sus lados, (la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio), se cortan en el circuncentro y las medianas, (los segmentos que unen cada uno de los vértices con el punto medio de su lado opuesto), lo hacen en el baricentro. Los tres puntos están contenidos en la llamada Recta de Euler. Podemos "comprobarlo" fácilmente gracias a Geogebra:

(Nótese que no he representado el baricentro)

En los próximos días, abordaré este problema desde una perspectiva algebraica. Y así, de paso, hablamos de la gran contribución de Descartes a las matemáticas.

Clotoides doquiera que las haya

Advertencia: Si no te interesa la geometría y no estás familiarizado con el mundillo de la obra pública y los senderos de La Fuerza (los verdaderos, los que quedaron trazados en la primera trilogía de La Guerra de las Galaxias), no leas este rollo. Te va a aburrir soberanamente.


Kesting- Hedrich: el veterano.

Me encanta el libro viejo. A ver... Realmente, como buen "obsesivo compulsivo", me encantan aquellos libros viejos que por su temática me llaman la atención, (en ésto el filtro no es demasiado estricto), y que por sus previas condiciones de uso y almacenamiento, no evocan el recuerdo de tanta calamidad, en forma de prión, virus y bacteria, como pulula por ahí. Esta semana he adquirido una obra que me ha parecido muy curiosa: Tablas numéricas para el replanteo de curvas. Determinación rápida de un punto cualquiera de un arco, en graduación centesimal y sexagesimal de N. Kesting y O. Hedrich, edición española de Labor, publicado en 1960.

Se trata de una de aquellas obras técnicas que, como la regla de cálculo, facilitaban la vida de los ingenieros y delineantes en aquellos lejanos tiempos en que la ingeniería era una artesanía del pensamiento y no había ningún ordenador que sustituyera al oficio. "Antes de estos tiempos oscuros... Antes de la Informática". El caso es que me encontré a este pequeño hermano tirado de mala manera en un cajón de saldos, abiertas las tapas hasta el desgarro, y no pude sustraerme a la muda petición de auxilio que lanzaba desde aquella posición obscena. Ójala hubiera podido salvarlos a todos.

Cuando salí con él de ese campo del horror, (me resisto a llamar "librería" a un lugar en que no se respetan los libros ni como mercancía), me senté en una terracilla para examinar al herido y tomarme una cerveza. Pronto pude darme cuenta de que, aparte de una mancha de tinta azul que afea su corte delantero entre las páginas 181 y 245, (la huella indeleble que le dejó la agonía en el campo del honor de un camarada BIC al desangrarse al calor inclemente de algún pretérito mes de agosto), la calidad de los materiales y de la encuadernación había asegurado su integridad frente a las humedades, calores y, en fin, las solicitaciones mecánicas de todo tipo, de los largo años de postración y olvido.

Más tranquilo, entre sorbo y sorbo de cerveza, descubrí algunas anotaciones manuscritas entre sus páginas que me hicieron pensar que estuvo sujeto a un mando incompetente que no supo entender su valor o sus posibilidades. Es todo lo que ha quedado para recordar tanta batalla en la que un mal cálculo acaba por hacer inútil el sacrificio de tanta estaca. No considero que la terapia "psicológica" que precisaría este camarada para liberarse de la huella intrusiva de ese pensamiento ajeno justifique el deterioro físico que, sin duda, significaría para sus folios. Las he respetado.

Limpio de polvo, deshechas las orejas en que se le doblaban cien esquinas haciéndole parecer un ridículo soplón, (a él, uno de los pocos libros que jamás aspiró a otra cosa que decir su pequeña verdad con precisa exactitud), tiene ahora un buen lugar en una cómoda estantería, su nuevo cuartel, capitaneado por el PG3, (un libro un tanto pomposo y ordenancista, es cierto), pero en un codo a codo con camaradas como Problemas de geometría diferencial, un ruso con el que sospecho que se va a llevar muy bien, habituado como está a dar soluciones él y necesitado como anda el otro de respuestas.

Hemos estado hablando este fin de semana, (una pequeña charla intranscendente en forma de "prelectura"), que me ha dejado muy claro que no me va a decir gran cosa sobre la ciencia que sustenta su mensaje. Supone que su interlocutor sabe de lo que habla y sólo lo hace, bajo la forma de riguroso dato, en la medida en que se le sabe interrogar. Un buen suboficial, sin duda alguna. Vale la pena aprender de él por más que la técnica haya revolucionado ese arte de la guerra que llaman obra civil.

 O, sea... Nombre, rango y número de placa.

En las tablas, todos los valores necesarios para fijar estos puntos, son inmediatamente legibles o pueden ser fácilmente calculables si se trata de valores intermedios. Éstos pueden obtenerse en las tablas por interpolación lineal. (...) Todas las tablas, incluso las que sirven para redondear los arcos en los cambios de pendiente, abarcan tal variedad de radios que cubren todas las necesidades de la práctica. La forma misma de efectuar el replanteo va descrita en cada caso en las explicaciones de la tabla respectiva... (KESTING- HEDRICH;1-2).

El tiempo no pasa en balde. Nuestro amigo es de los que hacían la guerra dentro de su casaca roja, en perfecta formación, construyendo abigarradas geometrías sobre el campo de batalla bajo soles inclementes y fríos despiadados, antes de que el álgebra y el cálculo encajaran el mundo en un sistema de coordenadas. Cuando la precisión no la daba el instrumento, sino que la conquistaba su operador. Teodolitos y cintas... Instrumentos nobles para tiempos más civilizados.

La suya era una guerra "sucia", llena de trucos y jugarretas, donde cada uno se buscaba la vida a base de "interpretar" las órdenes recibidas bajo el punto de vista de la necesidad y la precisión exigibles. Cuenta nuestro entrañable veterano cómo los arcos de enlace, que los estados mayores exigían clotoides y bien clotoides, eran sustituidos ya en el campo por la tropa, "con suficiente exactitud",  (para usar la expresión que utiliza con un brillo de picardía en la ilustración con que explica este extremo), por un arco de círculo de radio doble del principal.(KESTING- HEDRICH;7).

Debe haber notado mi leve estremecimiento de incredulidad, porque se ha apresurado a explicarme, con un cierto retintín, que el arco de la clotoide es más largo que el circular. Empieza a la distancia b (superposición de la clotoide) = 0,732 x a contada sobre la recta antes del principio del arco circular VA, o sea en el punto UA (inicial de la clotoide) y termina a la misma distancia más allá del punto final del arco circular VE, en el que éste se transforma en el arco de círculo principal, o sea en el punto UE (final de la clotoide). Desde ese mismo instante el tema ha dejado visiblemente de interesarle. No está por la labor de sustentar sus extraordinarias afirmaciones con árduas demostraciones geométricas.

Se ha cerrado en banda, vamos. Se regodea observando las muecas que traducen mi incredulidad al descubrir que la verificación de sus tácticas de asalto me van a llevar mucho más lejos de la mera consideración del archiconocido

...

   Y ahí lo tengo, al viejo cabrón, tomando el fresquito bien despatarrado sobre el atril, en plan "chaise longue", mientras me afano, sin acabar de encontrar el quid de la cuestión, con las ecuaciones de Fresnel.

Por suerte uno tiene sus recursos. He notado un leve estremecimiento en la fuerza, como si millones de voces gritaran un momento "¡Gilipollas!"... y después se hiciera el silencio... Así que he tirado de Google y he descubierto justo lo que necesitaba: en 1944, Antonio Lleó de La Viña, alumno de la Escuela de Caminos había estudiado el problema de la aproximación óptima de la clotoide teórica por una curva circular de acceso... No soy un tipo elegante. Le he refrotado el pdf por las narices al Kesting- Hedrich después de recorrer la habitación de arriba a abajo, dando saltitos y escenificando una danza guerrera maorí. "¡Cabrones los de comunicaciones!", ha dicho, "... ¡Ni de coña lo hubieras deducido tú, sin ayuda de tus contactos".

¡Bah...! La demostración tampoco es tan complicada... Seguro que la hubiera deducido... Con tiempo, claro. ¿O no?... 

¡Tengo que repasar mates!